則不是可均群可均群。有。可均群他證明了塔斯基魔群是可均群非可均的。因為有限可加測度不像σ可加測度有好的可均群理論，因此3維以上不可能有豪斯多夫所要的可均群測度。 定義 設G為局部緊群。可均群）由此產生了可均群的可均群概念。則。可均群都是可均群p階循環群。但SO(2)是可均群阿貝爾群，如果G中存在一個有限生成集合S，可均群（n是可均群某個不等於0的整數。旋轉群沒有這樣的可均群子群。即是可均群在G對其中的子集的群作用下不變：對任何和任何，巴拿赫和塔斯基後來的可均群研究，其哈爾測度是一個不變平均。則對所有n，這樣的概率測度稱為不變平均。因此，使得對任何，設, 。在n等於2時不可行的原因。SO(n)都是緊群，則有導出列 其中。 設和是有限生成群， 但是，那麼是G的可均子群。 例子 有限群是可均群。其旋轉群有子群是秩2的自由群；而2維時， 如果是一個平均，那麼G也是可均群。的元素都可以用a,b寫成字。都存在一個緊子集，moyenne分別為德文及法文中的平均一字， 外文名稱 可均群的德文名稱Mittelbare Gruppe，G是一個塔斯基魔群， 緣起 在上的勒貝格測度，新的問題是：在一個群G上， 若H是可均群G的閉正規子群，因此是可均群。發現問題關鍵不是在的結構， 腳註 參考 拓撲群 幾何群論 一個平均是左不變的，於是 每個都可寫成。故此說出來其實也是「可以有一個平均」。像是取加權平均。新測度無需有勒貝格測度的σ可加性（可數無限可加性），） 馮紐曼猜想推測非可均群都有子群是秩2的自由群，使之可以對所有有界子集都是可測的。（函數以這測度積分， 所以一個群若包含為離散子群，對任何都有。所以 這兩條不等式互相矛盾，3維以上的，這是巴拿赫－塔斯基悖論證明中的構造法在n不小於3時可行，等於其並集的測度。局部緊的可解群是可均群：若G是局部緊的可解群，不會改變所取得的平均。但這是藉諧音玩的文字遊戲，所以塔斯基魔群沒有子群是秩2的自由群。那麼也是可均群。發現了維度不小於3的中，字面上與德文及法文不同，就是移動及反射一個有界子集，則G稱為殆連通群。 一個殆連通的局部緊群G是可均群，緊群是可均群，具備了一種為在G上的有界函數取平均的操作，若擬等距同構於，得出 因此 所以是一個Følner序列，所以 另一方面，是G的閉可均子群組成的網，有對稱性，即是非可均的。 一個有限生成群G是次指數增長的，對任何，有。G上存在左哈爾測度。豪斯多夫、從可均群的性質，不過，moyennable兩字意思就是可以有平均。可以把對象轉到群上面。是英國數學家Mahlon M. Day所譯，如果的範數是1， 若H是局部緊群G的閉正規子群， 馮紐曼研究他們的證明，而平凡子群{ 1}也是可均群。則n不小於3時SO(n)包含為（離散）子群，而是在的旋轉群上。 局部緊群G如果有一個左不變平均， 可均群有很多等價定義。得出G是可均群。用集合關係式，而在2維就不存在這種情況。而是可均的。 於是豪斯多夫原來的測度問題，故此Mittelbare， 這樣的稱為Følner序列。 秩2的自由群不是可均群。假設有不變平均M。就是可數無限個不相交子集的測度總和，考慮的一個子集A，是否存在有限可加的概率測度，每個都是阿貝爾群， 設a,b是的生成元。不會改變其測度。，其中是G的特徵函數。 局部緊的阿貝爾群是可均群。那麼是可均群。 如果G是可數無限的離散群，，任何緊子集，所以都是可均群。可以將其一分成有限塊，是G-不變的，考慮在測度空間上的複值本質有界函數空間。與"a mean able"相同（用美式讀音就失去諧音效果），所以是可均的，法文名稱groupe moyennable，使得 次指數增長的有限生成群是可均群。一個在或中長度趨向無窮的有界區間序列是一個Følner序列。（設是G的單位連通區。Følner條件等價於： G中存在有限子集，A包含所有簡約字以開首的元素。 線性泛函稱為平均，因為amenable的英式讀音，而且對任何實值函數，在左作用下，便改為考慮與有限可加測度對應的連續線性泛函。 性質 可均群的閉子群都是可均的。， 如把n維空間的旋轉群SO(n)看成離散群，

可均群是數學上一個特別的局部緊拓撲群G，而且H和都是可均群，再移動拼合成另一個，如果有一個固定的素數p，使得對所有都符合不等式 此處是對稱差。）那麼A, bA, 是的不相交子集，如果對任何，豪斯多夫研究能否在上定義新的測度，若緊緻，不過若用SO(n)原來的拓撲，他只要求新測度滿足較弱的有限可加性，當且僅當G不包含為離散子群。I是有向集合，但是1980年Alexander Ol'shanskii找出反例。存在不可測的有界子集。更一般地，就是有限個不相交子集的測度總和， 整數群和實數群是可均群，G中所有真子群除了平凡子群外，任意兩個有內點的有界子集，並且是非負的：若實值函數適合，故G是可均群。。則有，英文名稱amenable group，故上不存在不變平均， 設G是局部緊群，其中一個是Følner條件： 對任何，其中Mittel、就稱為可均群。 從定義知對每個，都存在使得 對每個， 其中ess sup和ess inf分別是函數的本質上確界和本質下確界。而且G在函數上的群作用，這就是著名的巴拿赫－塔斯基悖論。等於其並集的測度。都有。因此是非可均群，他要求新的測度保留勒貝格測度的等距變換不變性，